Potenze

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Potenze

Definizione

La potenza non è altro che una moltiplicazione ripetuta: se devo scrivere 6x6x6 è più facile e comodo scrivere 63quindi 63=6x6x6

il 6 si chiama base, il 3 si chiama esponente e 63 tutto unito si chiama potenza.

DEFINIZIONE: la potenza è il prodotto della base tante volte quant’è l’esponente.

Per rendere la definizione più generale occorre usare le lettere, allora, poichè talvolta useremo x come lettera sostituiamo il segno di prodotto x con il simbolo · , allora ad esempio sarà a · a · a.

Più in generale an sarà a · a ·….· a ove i puntini indicano che la moltiplicazione viene ripetuta tante volte quant’è l’esponente cioè n volte.

Nota di Approfondimento: la lettera sostituisce il numero perchè rappresenta una variabile, vale a dire un contenitore che può “ospitare e diventare” qualsiasi numero. Un concetto che evidentemente ben si adatta alla costruzione di formule. La formula non è altro che una sequenza di lettere e simboli per giungere al risultato di un calcolo, i cui numeri possono essere sempre diversi.


Prodotto di potenze con la stessa base

Se devo moltiplicare 23 x 24 

poiché 23=2x2x2  e 24=2x2x2x2

otterrai
23 x 24= (2x2x2) x (2x2x2x2) = 2x2x2x2x2x2x2 = 27= 23+4

quindi per fare il prodotto quando hanno la stessa base, basta sommare gli esponenti.
O
ra rendiamo il risultato più generale possibile usando le lettere

 ar· as= (a · a · …. · a) · (a · a · a ·….· a) = a · a ·….· a · a · a · a · …. · a =

i primi sono r, gli altri sono s in totale saranno r+s = ar+s 

Per trovare la regola basta leggere il primo termine e l’ultimo termine dell’uguaglianza ar· as = ar+s 

REGOLA: il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.


Quoziente di potenze

Se devo dividere 28 : 25

poiché 28 = 2x2x2x2x2x2x2x2 e 25 = 2x2x2x2x2

otterrai 28 / 25 = (2x2x2x2x2x2x2x2) / (2x2x2x2x2) = 2x2x2 = 23= 28-5 quindi per fare il quoziente quando hanno la stessa base basta sottrarre gli esponenti.

Ora rendiamo il risultato più generale possibile usando le lettere

ar / as = (a · a ·….· a) / (a · a ·….· a)

dalle r lettere di sopra devo togliere le s (ciò potrò farlo solo se r è più grande di s) restera’ quindi a · a ·….· a = ar-s .

Per trovare la regola basta leggere il primo termine e l’ultimo termine dell’uguaglianza se r > s allora ar / as= ar-s

REGOLA: il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Caso in cui r è minore di s

Se devo dividere 25: 28 poichè 25=2x2x2x2x2 e 28=2x2x2x2x2x2x2x2 otterrai (2x2x2x2x2)/(2x2x2x2x2x2x2x2)

Come sappiamo una frazione può essere trasformata in un’altra equivalente, moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero diverso da zero.

Quindi 25: 25 = 1 mentre 28: 25 = 28-5 . In definitiva avremo 1 / 23 scritto in lettere “uno fratto due alla terza” cioè “uno fratto otto” ancora tradotto “un ottavo”.

Come stabilito per gli altri concetti sulle potente, ai numeri possiamo sostituire le lettere, in questo caso il numero 2 lo sostituiamo con la lettera a, l’esponente con la lettera n. Alla fine avremo:

a8: a5 = a8-5 che si semplificherà in 1 / a3.

Caso in cui r è uguale ad s

Se devo dividere 25 / 25 poiché 25=2x2x2x2x2 otterrai

(2x2x2x2x2)/(2x2x2x2x2) il risultato sarà 1.

In altre parole al numero 2 sostituiamo la lettera a, quindi avremo

an : an = an-n = a0 ma an:an=1 quindi: a0=1

In definitiva: una potenza con esponente zero è eguale a 1.


Potenza di una potenza

Se devo fare (23)4 dovro moltiplicare 23 per quattro volte e cioè 23 x 23 x 23 x 23 e poiché 23 = 2 x 2 x 2 otterrai (2x2x2) x (2x2x2) x (2x2x2) x (2x2x2) uguale a 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 vale a dire a 212 che se fin dall’inizio del nostro calcolo volevamo semplificare era uguale a 23×4 , in definitiva:

la potenza di una potenza è eguale a una potenza che ha la stessa base e per esponente in prodotto degli esponenti.

Volendo anche qui cambiare il numero 2 con la lettera a, avremo (an)m = an-m .


Potenza di un prodotto

Quando devo eseguire la potenza di un prodotto talvolta può essere utile trasformarla nella potenza dei fattori ad esempio se ho (2×3)4 talvolta (ad esempio in una frazione per semplificare) mi può servire fare la potenza senza eseguire la moltiplicazione, così otterrò (2×3)4=(2×3)x(2×3)x(2×3)x(2×3) che sarà uguale a 2x3x2x3x2x3x2x3 ora mettendo assieme i 2 e i 3 per la proprietà associativa della moltiplicazione otterremo 2x2x2x2x3x3x3x3 vale a dire 24x34 , alla fine 2 alla quarta è uguale a 16, mentre 3 alla quarta è uguale a 81, quindi 16 x 81 è uguale a 1296.

Come per gli esempi fatti per le altre operazioni sulle potenze possiamo sostituire ai numeri le lettere, quindi in questo caso il 2 potremmo sostituirlo con la a e il 3 potremmo sostituirlo con la b.

Articolo redatto sulla base fornita dal sito www.ripmat.it il cui autore e il Sig. Dino Betti.



Instant matematica. Dalle potenze alle equazioni: un metodo innovativo per usare i numeri divertendosi


 

Updated: 12 Marzo 2016 — 0:26